目次

• 命題とは？
• 否定命題（Pでない）
• 連言命題（PかつQ）
• 選言命題（PまたはQ）
• 含意命題（PならばQ）
• 同値命題（PとQは同値）
• 恒真命題（トートロジー）
• 恒偽命題（矛盾）
• 全称命題（すべてのxについてP）
• 存在命題（あるxについてP）
• まとめ

命題とは？

命題とは？

命題というのは、正しいか正しくないかを客観的に判別できる主張のことです。 数学に出てくる主張はすべて命題です。

※命題は $P$、$Q$、$R$ の辺りのアルファベッドで表すことが多い。

たとえば、次の4つの主張を考えてみましょう。

• エベレストは富士山より高い。
• 富士山はエベレストより高い。
• エベレストは高い。
• エベレストは $x$ より高い。

1つめは正しい主張なので真の命題です。
2つめは正しくない主張なので偽の命題です。
3つめは比べる相手がいないので正しいか正くないか決まらず、命題ではありません。
4つめは比べる相手によって正しいか正くないか変わってしまうので、命題ではりません。
まとめると次の通りです。

• エベレストは富士山より高い。（真の命題）
• 富士山はエベレストより高い。（偽の命題）
• エベレストは高い。（命題でない）
• エベレストは $x$ より高い。（命題でない）

真偽に数字や文字を割り当てることがあります。

※真理値は1の代わりにT、0の代わりにFを割り当てることもある。

たとえば「エベレストは富士山より高い」という真の命題の真理値は1で、「富士山はエベレストより高い」という偽の命題の真理値は0ということになります。 真理表の例はこのあとすぐにたくさん出ててきます。

命題関数とは？

表現の幅を広げるために、命題関数というものを考えます。 命題関数を使うと表現の幅が格段に広がります。 命題関数を正確に定義する前に、基本的な用語を確認しておきましょう。

※変数のことを変項、変域のことを対象領域ということもある。

たとえば不特定の人間を代表する変数を $x$ とすると、 $x$ に対応させることのできる値としては「太郎」や「花子」などがあり、 $x$ の変域はすべての人間ということになります。

命題関数は真偽が決まらないので命題ではなく、変数に具体的な値を代入してはじめて命題になることに注意しましょう。たとえば、

太郎はネコが好き。

という命題の「太郎」を変数 $x$ に置き換えれば、

$x$ はネコが好き。

という命題関数ができます。 ここで、たとえば変数 $x$ に値「花子」を代入すれば、

花子はネコが好き。

という命題ができます。 そしてもし花子がネコ好きなら、値「花子」は条件「〜はネコが好き」を満たすということになります。

※条件や関係をまとめて述語ともいう。

たとえば、

太郎はネコが好き。

という命題の太郎を変数 $x$ に、ネコを変数 $y$ に置き換えれば、

$x$ は $y$ が好き。

という2変数の命題関数ができます。 このとき「〜は〜が好き」は $x$ と $y$ の関係ということになります。

否定命題（Pでない）

ここからは、ある命題から新しい命題を作る方法を見ていきます。

※ $\lnot P$ の代わりに ${\sim}P$ や $\overline{P}$ と書くこともある。

$P$ の真理値が1のとき ${\lnot}P$ の真理値は0、$P$ の真理値が0のとき ${\lnot}P$ の真理値は1になるので、真理表を書くと次のようになります。

日常用語の「でない」と全く同じ意味なので特に難しいポイントはないです。たとえば命題 $P$ を

太郎はネコが好き。

とすると、その否定命題 $\lnot P$ は

太郎はネコが好きでない。

となる。太郎がネコ好きなら $P$ は真で $\lnot P$ は偽になるし、太郎がネコ嫌いなら $P$ は偽で $\lnot P$ は真となります。

否定命題 $\lnot P$ の一部を変数 $x$ で置き換えると、命題関数 $\lnot P(x)$ になります。たとえば、

太郎はネコが好きでない。

という否定命題 $\lnot P$ の太郎を変数 $x$ で置き換えた命題関数 $\lnot P(x)$ は、

$x$ はネコが好きでない。

となります。

連言命題（PかつQ）

ここからは、2つの命題を組み合わせて新しい命題を作る方法を見ていきます。

今度はありえるパターンが全部で4通りなので、真理表も4行になります。

論理用語としての「かつ」も日常用語の「かつ」と同じ意味なので、難しいポイントは特にありません。 たとえば次の2つの命題を考えてみます。

太郎はネコが好き。
太郎はイヌが好き。

この2つの命題の連言命題は、2つを素直につなげて「太郎はネコが好き、かつ、太郎はイヌが好き」と言っても間違いではありませんが、実際には次のような自然な表現で書かれることが多いです。

太郎はネコもイヌも好き。

$P \land Q$ は「$P$ そして $Q$」や「$P$ しかし $Q$」のように読むこともあります。 日常用語では「かつ」と「そして」と「しかし」はニュアンスが全然違いますが、論理的には全く同じ意味になるので注意が必要です。

たとえば $P \land (\lnot Q)$ は素直につなげると「太郎はネコが好き、かつ、太郎はイヌが好きでない」ですが、 実際にはもっと自然に「太郎はネコが好きだけどイヌは好きでない」と読むこともあります。

大切なことは、言葉で考えていて「あれ？」ってなったときに、いつでも記号に直して正しい意味を確認できるようにしておくことです。

連言命題 $P \land Q$ の一部を変数 $x$ で置き換えると、命題関数 $P(x) \land Q(x)$ になります。

選言命題（PまたはQ）

2つの命題を組み合わせて新しい命題を作る方法の2つめです。

※ $P \lor Q$ は「$P$ か $Q$」や「$P$ あるいは $Q$」のように読むこともある。

真理表は次の通りです。

この「または」は日常用語の「または」とは違う点があるので注意が必要です。 たとえば次の2つの命題をそれぞれ命題 $P$、$Q$ とします。

太郎はネコが好き。
太郎はイヌが好き。

この場合、命題 $P \lor Q$ は次のようになります。

太郎はネコまたはイヌが好き。

この命題が真の場合、日常会話では、太郎はネコかイヌかどちらか一方が好きだという意味で使われることがほとんどです。 でも論理的には両方とも好きな場合でも真になるので注意しましょう。

選言命題 $P \land Q$ の一部を変数 $x$ で置き換えると、命題関数 $P(x) \lor Q(x)$ になります。

含意命題（PならばQ）

2つの命題を組み合わせて新しい命題を作る方法の3つめです。

※ $P \to Q$ は「$P$ のとき $Q$」と読むこともある。

真理表は次の通りです。

これも日常会話での「ならば」と違うところがあるので注意が必要です。
たとえば、前件が

太郎はネコを飼ってる。

で、後件が

太郎はネコが好き。

のとき、含意命題は

太郎がネコを飼ってるならばネコが好き。

となります。 この命題が偽になるのは、ネコを飼ってるのにネコが好きじゃない場合だけです。
ネコを飼ってない場合は、ネコを好きでいようがいまいが真になるので注意しましょう。

※もちろん反対から見れば $P \to Q$ は $Q \to P$ の逆で $(\lnot Q) \to (\lnot P)$ の対偶だ。

たとえば先ほどの、

太郎がネコを飼ってるならばネコが好き。

の逆は、

太郎がネコ好きならばネコを飼ってる。

対偶は、

太郎がネコ好きでないならばネコを飼ってない。

となります。 注意点としては、もとの命題と逆の命題は真偽が一致するとは限らないということです。 一方で、対偶はもとの命題と真偽が一致します。 これは真理表を書けば一目瞭然です。

含意命題 $P \to Q$ の一部を変数 $x$ で置き換えると、命題関数 $P(x) \to Q(x)$ になります。

同値命題（PとQは同値）

2つの命題を組み合わせて新しい命題を作る方法の4つめです。これで最後です。

※ $P{\leftrightarrow}Q$ は「$P$ と $Q$ は同値」とも読む。

真理表は次の通りです。

つまり同値命題は、元の命題の真理値が一致するときは真、一致しないときは偽になる命題ということです。

たとえば次の2つの命題

太郎はネコが好き。
太郎はネコを飼ってる。

の同値命題は

太郎がネコ好きなことと、太郎がネコを飼ってることは同値。

となります。 同値命題 $P \leftrightarrow Q$ の一部を変数 $x$ で置き換えると、命題関数 $P(x) \leftrightarrow Q(x)$ になります。

恒真命題（トートロジー）

次は、恒真命題と恒偽命題という2つの特殊な命題を紹介します。まずは恒真命題です。

たとえば選言命題 $P \lor (\lnot P)$ は、命題 $P$ の真偽に関係なく恒に真になります。

たとえば「太郎はネコが好きかネコが好きでない」という命題は、彼がネコ好きであろうがなかろうが恒に真になります。 恒真命題はこの他にも無数にあって、それらは証明を進めるときに役に立ちます。 詳しくは証明とは？へ。

恒偽命題（矛盾）

次は恒偽命題です。

たとえば連言命題 $P \land (\lnot P)$ は、命題 $P$ の真理値に関係なく恒に偽になります。

たとえば「太郎はネコが好きでネコが好きでない」という命題は、彼がネコ好きであろうがなかろうが恒に偽になります。 恒偽命題は背理法という証明法を使うときに特に役に立ちます。 詳しくは証明とは？へ。

全称命題（すべてのxについてP）

命題関数を使うと「全称命題」と「存在命題」という新しい命題を作ることができます。 まずは全称命題から。これは連言命題の一般化になっています。

※ 「すべての」と読む代わりに「どんな」や「任意の」と読むこともある。 日常的には「すべての」と「どんな」ではニュアンスが違うけど、論理的には全く同じ意味になる。
※この「$\cdots$」と書いている部分を厳密にやろうとすると、数学のための論理というよりも、論理そのものを研究する数理論理学になってくる。 ここが気になる人は「自然演繹」というキーワードで調べてみてみよう。 軽く紹介すると、$\forall$ の意味を直接決めるのではなく、 $\forall$ について成り立つルールを決めることによって、間接的に $\forall$ の意味を決めるようなことをする。

たとえば変数 $x$ の変域が「人間」のとき、

$x$ はネコが好き。

という命題関数の全称命題は、

すべての $x$ はネコが好き。

となります。もっと自然な言葉で表すと、

すべての人間はネコが好き。

のように表現することもできます。ここで、

$P(x)$ ： $x$ は人間である。
$Q(x)$ ： $x$ はネコが好き。

とすると、先ほどの「すべての人間はネコが好き」という命題は

\begin{align} \forall x \ ( P(x) \to Q(x) ) \end{align}

と表すことができるので、変域そのものを命題関数に組み込むことができます。 このようにすべての全称命題は変域を命題関数に組み込むことで $\forall x (P(x) \to Q(x))$ という形で書けます。 これはもちろん、

\begin{align} ( P(x_1) \to Q(x_1) ) \land ( P(x_2) \to Q(x_2) ) \land \cdots \end{align}

という意味です。 これは素直に読めば「すべての $x$ について $P(x)$ ならば $Q(x)$」 ですが、実際にはもっと自然に 「すべての $P(x)$ は $Q(x)$」 と読むことが多いです。

存在命題（あるxについてP）

命題関数から新しい命題を作る方法を2つめは存在命題です。 存在命題は選言命題を一般化した命題です。

※ $\exists x P(x)$ は 「$P(x)$ となる $x$ が存在する」とも読む。
※存在命題も全称命題と同じで、厳密に議論するには数理論理学に踏み込む必要がある。

たとえば変数 $x$ の変域が「人間」のとき、

$x$ はネコが好き。

という命題関数の存在命題は、

ある $x$ はネコが好き。

となります。もっと自然な言葉で表すと、

ある人間はネコが好き。

のように表現することもできます。ここで、

$P(x)$ ： $x$ は人間である。
$Q(x)$ ： $x$ はネコが好き。

とすると、先ほどの「ある人間はネコが好き」という命題は

\begin{align} \exists x \ ( P(x) \land Q(x) ) \end{align}

と表すことができるので、変域そのものを命題関数に組み込むことができます。 このようにすべての存在命題は変域を命題関数に組み込むことで $\exists x (P(x) \land Q(x))$ という形で書けます。 これはもちろん、

\begin{align} ( P(x_1) \land Q(x_1) ) \lor ( P(x_2) \land Q(x_2) ) \lor \cdots \end{align}

という意味です。 これは素直に読めば「ある $x$ について $P(x)$ かつ $Q(x)$」 ですが、実際にはもっと自然に 「ある $P(x)$ は $Q(x)$」 と読むことが多いです。

2変数の命題関数 $P(x,y)$ も量化することができます。たとえば $\forall x \ \exists y P(x, y)$ は、

\begin{align} \forall x ( P(x, y_1) \lor P(x, y_2) \lor \cdots ) \end{align}

という意味で、もっと詳しく書くと、

\begin{align} ( P(x_1, y_1) \lor P(x_1, y_2) \lor \cdots ) \land ( P(x_2, y_1) \lor P(x_2, y_2) \lor \cdots ) \land \cdots \end{align}

となります。

たとえば $P(x,y)$ を「$x$ は $y$ が好き」とし、$x$ の変域を「人間」、$y$ の変域を「動物」とすると、量化の方法は全部で8通りあります。

$\forall$ と $\exists$ が混ざっているときは、量化する順番によって全く意味が変わってしまうので注意が必要です。

3変数以上の命題関数も同じように量化して命題にすることができます。

まとめ

まず用語をまとめておきましょう。

論理記号もまとめておきましょう。

命題をつなぐ5つの記号 $\lnot$、$\land$、$\lor$、$\to$、$\leftrightarrow$ には優先順位があります。 優先順位があるおかげで、カッコを省略することができます。 これは数の計算で $+$ より $\times$ を優先するのに似ています。

たとえば、$\lnot P \land Q$ は $(\lnot P) \land Q$ の意味で、$\lnot (P \land Q)$ ではありません。 言葉で「PかつQでない」といった場合は曖昧になってしまうので「Pかつ、Qでない」や「PかつQ、でない」のように「、」を入れて区別することがあります。

$P \land Q \to R$ は $(P \land Q) \to R$ の意味で、$P \land (Q \to R)$ ではありません。 これも「PかつQならばR」というと曖昧なので、「PかつQ、ならばR」や「Pかつ、QならばR」のように区別することがあります。

もっと紛らわしいのは $P \to Q \leftrightarrow R$ で、これは $(P \to Q) \leftrightarrow R$ の意味で、$P \to (Q \leftrightarrow R)$ ではありません。

関連記事

• 数学の証明を作る論理のことば（よって、つまり）
• 数学の定義と公理と定理の違い